1.一种串联倒立摆的有限频率范围鲁棒迭代学习控制方法，其特征在于，所述方法包括如下步骤：第一步：建立串联倒立摆的状态空间方程；

其中，

式(17)中k表示迭代周期，p表示控制节点序号，t代表连续时间，串联倒立摆系统工作于t∈[0,T]的重复时间周期内；xk(p,t)∈Rn，uk(p,t)∈Rm和yk(p,t)∈Rl分别表示串联倒立摆系统第p个节点的状态、输入和输出信号；vk(p,t)∈Ri和wk(p,t)∈Rj分别表示串联倒立摆系统第p个节点的状态端外部有界扰动和输出端外部有界扰动信号，并且扰动信号可导；

和 分别表示适当维数的系统矩阵；m表示摆杆质量，l表示摆杆质心到转动轴心的距离，J表示摆杆的转动惯量，M表示小车质量，a表示弹簧劲度系数，b表示小车摩擦系数；串联倒立摆系统第p个节点的状态会受到前后节点状态的影响，其中0≤p≤α-1，α表示串联倒立摆系统的总节点数，为已知的任意正整数；不失一般性，假设串联倒立摆系统满足边界条件xk(p,0)＝0，并且xk(-1,t)＝0，xk(α,t)＝0；

第二步：对原串联倒立摆的状态空间方程进行转换；

对于所述原串联倒立摆的状态空间方程(17)，利用提升技术，定义关于输入、输出、状态和扰动信号的超级矢量Uk(t)，Yk(t)，Xk(t)，Vk(t)，Wk(t)为如下形式：则所述原串联倒立摆的状态空间方程(17)转换成等效系统：其中，

第三步：根据重复过程理论设计鲁棒迭代学习控制算法；

定义所述等效系统输出跟踪误差为

ek(t)＝Yr(t)-Yk(t)

其中Yr(t)为期望输出信号的超级矢量，且为连续可导的期望输出轨迹；

针对所述等效系统(19)设计如下形式的迭代学习控制律Uk(t)＝Uk-1(t)+ΔUk(t)     (20)在式(20)中，Uk(t)是当前周期的输入量；Uk-1(t)是前一个周期的输入量；ΔUk(t)是控制系统周期更新的修正量，为了便于分析，定义中间变量ηk(t)， 和ζk(t)为根据式(19)、式(20)和式(21)得到：将式(20)中的迭代学习更新律定义为如下形式：其中，

其中 分别对应将所述迭代学习更新律与所述等效系统(19)结合，得到被控系统的重复过程模型为如下形式：其中，

I表示单位矩阵；

所述重复过程模型(26)从系统误差ek-1(t)到系统误差ek(t)之间的传递函数为：为了进一步表示系统外部有界扰动与系统输出之间的关系，将式(26)转换成如下形式的连续离散重复过程模型：其中，

则所述连续离散重复过程模型(28)从系统外部有界扰动 到系统误差ek-1(t)之间的传递函数为：ω表示系统工作频率；

第四步：分析有限频率范围内的所述鲁棒迭代学习控制算法的收敛性；

本申请的控制目标是设计鲁棒迭代学习控制律使得具有外部有界扰动的所述等效系统(19)在有限频率范围内鲁棒稳定；首先应保证在无外部有界扰动情况下所述等效系统(19)的稳定性；

在无外部有界扰动情况下，重复过程稳定和误差收敛需要满足三个条件：条件一：所述重复过程模型(26)的矩阵 的所有特征值都具有严格的负实部；条件二：所述重复过程模型(26)的矩阵 的谱半径严格小于1；条件三：所述重复过程模型(26)传递函数的矩阵其特征值的模严格小于1；

在无外部有界扰动情况下，所述重复过程模型(26)在有限频率范围内稳定和误差收敛的结论为：对于所述重复过程模型(26)，若存在对称正定矩阵Q>0，P>0，Z>0和W1>0使得如下线性矩阵不等式成立：则无扰动的等效系统(19)在所述迭代学习更新律(24)的作用下，输出跟踪误差在低、中频段范围内沿时间和批次方向单调收敛；

对于重复过程模型(26)，若存在对称正定矩阵Q>0，P>0，Z>0和W1>0，以及标量τ>0使得如下线性矩阵不等式成立：则无扰动的等效系统(19)在所述迭代学习更新律(24)作用下，输出跟踪误差在高频段范围内沿时间和批次方向单调收敛；

在无扰动结论的基础上进一步扩展带有外部有界扰动的等效系统(19)在有限频率范围内鲁棒稳定且具有鲁棒性能的结论；

若所述连续离散重复过程模型(28)从外部有界扰动到系统输出误差之间的传递函数Gwz(s)满足||Gwz(s)||∞<γ      (34)则称所述连续离散重复过程模型具有鲁棒性能，γ为其性能指标，且γ取值越小，表明所述连续离散重复过程模型的抑制干扰的性能越好；

将所述连续离散重复过程模型(28)的系数矩阵(29)代入广义有界实引理的线性矩阵不等式，同时令并取频率响应不等式中的矩阵

则线性矩阵不等式写成：

且式(35)又可以写成：

其中 对于式(36)中的Λ⊥，取

其次，取矩阵

Σ＝[0 I 0,

则得到下列等式：

其中定义Q>0，根据广义有界实引理中N11＝-Q可得 又因为-γ2I<0所以根据投影引理 得到以下不等式成立：

其中 对式(38)使用Schur补引理得到：* 2

根据广义有界实引理G(jω) G(jω)<γ ，得到ρ(G(jω))<γ，由于ρ(G(jω))≤||G(jω)||∞，则得到：||G(jω)||∞<γ

保证了所述连续离散重复过程系统(28)具有鲁棒性能γ；

因此对于低、中频段得到下列结论：

针对式(26)所述的重复过程模型，给定对称矩阵P>0，Q>0，Z>0，W1>0和W2>0以及给定标量γ>0使得式(30)和式(31)以及下列矩阵不等式成立：则在所述迭代学习更新律(24)作用下，所述等效系统(19)在低、中频率范围内鲁棒稳定且具有鲁棒性能γ，同时输出跟踪误差沿时间和周期方向收敛；

根据广义有界实引理中N矩阵N11元素在低、中频范围内和高频范围内的取值可知，低中频段为-Q，高频段为Q，不同频段取值不同，当系统工作于高频段时N11＝Q>0，相应的结论式(40)无法保证其负定，因此引入标量τ>0，取下列矩阵Σ＝[τI I 0,

则得到：

则相应高频段的结论为：

针对式(26)所述的重复过程模型，给定对称矩阵P>0，Q>0，Z>0，W1>0和W2>0以及给定标量τ>0和γ>0使得式(32)和式(33)以及下列矩阵不等式成立：T

其中T1＝N11-τW1-τW1 ， 则在所述迭代学习更新律(24)作用下，所述等效系统(19)在高频率范围内鲁棒稳定且具有鲁棒性能γ，同时输出跟踪误差沿时间和周期方向收敛；

第五步：求解所述鲁棒迭代学习控制算法的控制律增益；

根据式(30)得出式(42)

取 取 因此Σ＝[-ρ2I ρ1I]，定义ρ2<0,ρ1>

0，则得到：

运用投射引理得到如下结果：

将所述重复过程模型的系数矩阵(27)代入式(44)并在上式不等式左右两边乘以diag{S1T,S1T}、diag{S1,S1}，其中S1＝W1-1，得到如下不等式：其中

将所述重复过程模型的系数矩阵式(27)代入式(31)，因此得到下列不等式：在式(31)中，不等式左右两边乘以diag{S1T,S1T,I,I}、diag{S1,S1,I,I}，其中S1＝W1-1，得到下列不等式：化简得到下列不等式：

其中

将所述重复过程模型的系数矩阵(27)代入式(40)，得到：其中，

Γ1＝N22+ATW1+W1TA+K1TBTW1+W1TBK1,Γ2＝-K1TBTCTW2-ATCTW2+W1TBK2,Γ3＝N22+W2T+W2-K2TBTCTW2-W2TCBK2，在式(49)左右两边乘以diag{S1T,S2T,S1T,S2T,I,I,I}、diag{S1,S2,S1,S2,I,I,I}，其中S1-1 -1＝W1 ，S2＝W2 得到

其中，

令X1＝K1S1，X2＝K2S2，

对于低、中频段得出下列结论：

针对式(26)所述的重复过程模型，给定适当维数矩阵X1，X2，对称矩阵S1>0和S2>0以及标量ρ1>0，ρ2<0和γ>0使得下列线性矩阵不等式成立：

则在所述迭代学习更新律(24)作用下，所述等效系统(19)在低、中频率范围内鲁棒稳定且具有鲁棒性能γ，同时输出跟踪误差沿时间和周期方向收敛，所述迭代学习控制律的增益由 给出；

同时相应高频段的结论为：

针对式(26)所述的重复过程模型，给定适当维数矩阵X1，X2，对称矩阵S1>0和S2>0以及标量ρ1>0，ρ2<0，γ>0和τ>0使得式(51)以及下列线性矩阵不等式成立：

其中 则在所述迭代学习更新律(24)作用下，所述等效系统(19)在高频率范围内鲁棒稳定且具有鲁棒性能γ，同时输出跟踪误差沿时间和周期方向收敛，所述迭代学习控制律的增益由 K2＝X2S2-1给出。

2.根据权利要求1所述的串联倒立摆的有限频率范围鲁棒迭代学习控制方法，其特征在于，在所述建立串联倒立摆的状态空间方程的步骤之前，所述方法还包括：对串联倒立摆进行建模之前，对所述串联倒立摆系统作如下假设：(1)摆体是严格的刚体，运动过程中不会变形，(2)小车与导轨间的摩擦力与相对速度成正比，忽略空气阻力及其他摩擦力，(3)外力对所述串联倒立摆系统的作用无时滞；

所述串联倒立摆系统包括多个通过弹簧串联的一级倒立摆，根据牛顿力学先对第p个节点的一级倒立摆单独进行动力学分析，利用隔离法将第p个节点的一级倒立摆分为小车和摆杆两个部分，对所述两个部分分别进行受力分析；

对所述小车进行受力分析，在水平方向上，由牛顿力学分析得到小车的运动方程为：在式(1)中，Lp表示第p个节点小车相对初始位置的位移，F表示作用于串联倒立摆系统上的控制力，Fp-1表示第p-1个节点对第p个节点的作用力，Fp+1表示第p+1个节点对第p个节点的作用力，FN表示摆杆与小车水平方向的相互作用力，Ff表示小车与导轨间的摩擦力；

由假设得到：

对摆杆进行受力分析，在水平方向上得到：在式(3)中，θp表示第p个节点摆杆与竖直向上方向的夹角；

将式(3)求导展开得到：

同时根据串联倒立摆整体结构得到：

将式(5)、式(4)和式(2)代入式(1)得到：将式(6)化简合并得到系统第一运动方程式(7)对所述摆杆进行受力分析，根据力矩平衡方程得到：在式(8)中，FT表示摆杆与小车竖直方向的相互作用力；

在摆杆竖直方向上受力分析得到：

在式(9)中，Gm表示摆杆的重力；

展开式(9)得到：

将式(4)和式(10)代入式(8)得到系统第二运动方程式(11)为实现串联倒立摆在平衡点附近微小的角度内重复摆动，同时对所述串联倒立摆系统变量进行如下近似处理：同时：

将周期变量k和时间变量t加入所述第一运动方程式(7)和所述第二运动方程式(11)中并根据式(12)和式(13)简化得到串联倒立摆的运动方程为：由式(14)的第一个方程得到：

将式(15)代入式(14)的第二个方程得到：将式(16)回代式(15)的第一个方程得到：取 同时设置如下形式状态变量：

uk(p,t)＝Fk(p,t)

并在系统每个倒立摆子系统节点中引入状态端外部有界扰动vk(p,t)和输出端外部有界扰动信号wk(p,t)，则得到所述串联倒立摆的状态空间方程。