1.一种多对线性约束控制分量下过驱动系统控制可达集确定方法,其特征在于,包括以下步骤:
1)将控制集ΩMLR所有边界面分为 个分组;
ΩMLR为多对线性约束控制分量下过驱动系统的控制集,ΩMLR的边界 由矩形或三角形构成,将构成 的矩形或三角形称为控制集的边界面;ΩMLR={uMLR},uMLR为多T
对控制分量为线性约束控制分量的过驱动系统的控制向量,uMLR=(u1,...,um) ,uimin≤ui≤uimax,i=1,...,m;
......
为 的整数部分;第i个分量ui为对应的第i个执行器的控制作用量,m为执行器的数目,l为控制向量中线性约束控制分量的对数;uimin为第i个执行器控制作用量的约束最小值,uimax为第i个执行器控制作用量的约束最大值;若uMLR的两个分量取值在对应的最小m‑2
值和最大值之间,其余m‑2个分量取值为对应的最小或最大值,则所述m个分量形成2 个控制集的边界面;
记uMLR中任意两个分量为第p个分量和第q个分量,第p个分量和第q个分量取值在对应最小值和最大值之间,1≤p≤m,1≤q≤m,p<q,其余m‑2个分量取值为对应最小或最大值,m‑2
形成2 个边界面分为一组,称为p‑q分组;则控制集所有边界面共得到 个分组,每组有m‑2
2 个边界面,控制集的边界面共 个;
2)在步骤1)的 个分组的每一个分组中,确定准关键边界面和关键边界面;
多对控制分量为线性约束控制分量情况下过驱动系统的控制可达集ΦMLR为三维空间,表达式如下:
T
其中,v为过驱动系统的控制可达向量,v=(v1,v2,v3) ,其中vj为第j个控制可达分量,1≤j≤3,m>3;B为3行m列的控制效率矩阵;
令 表示ΦMLR的边界;记映射到ΦMLR的像可能在边界 的ΩMLR中边界面为准关键边界面,记映射到ΦMLR的像一定在边界 的ΩMLR中边界面为关键边界面;记Γ1为准关键边界面集合,Γ2为关键边界面集合,Γ3为准关键边界面和关键边界面集合,所述三个集合初始化为空集;
2‑1)任意选取一个未完成确定准关键边界面和关键边界面的分组记为p‑q分组;对p‑q分组,构造旋转变换矩阵R,使得控制可达集ΦMLR的坐标系进行旋转变换后,第1个坐标轴v1垂直于该p‑q分组边界面在ΦMLR的像;具体构造方法如下:令C=R·B,B为3行m列的控制效率矩阵,B中任意三列线性无关,C为两个矩阵相乘得到的矩阵;
记
将R、B代入C=R·B,则c1p=0,c1q=0,即:计算得到r11、r12、r13;
2‑2)利用C=R·B计算C矩阵的第一行(c11,...,c1m);由于矩阵B的任意三列线性无关,其中有且只有c1p=0,c1q=0,其余c1i≠0,1≤i≤m,i≠p,i≠q;
当c1i>0时,令ui=ui max;当c1i<0时,令ui=ui min;令up=up max或up min,uq=uq max或uq min,得到四个顶点,确定一个矩形,记为γ1;
同时,当c1i>0时,令ui=ui min;当c1i<0时,令ui=ui max;令up=up max或up min,uq=uq max或uq min,得到四个顶点,确定一个矩形,记为γ2;
2‑3)令K={k1,k2,...,kl};当p为奇数且q=p+1时,进入步骤2‑4);否则,进入步骤2‑
5);
2‑4)确定p‑q分组的关键边界面;具体步骤如下:
2‑4‑1)记不含第p个且不含第q个分量的一对线性不等式约束分量为固定对分量;令τ=1,进入步骤2‑4‑2);
2‑4‑2)若p∈K,则将γτ四个顶点的第p个分量为up max且第q个分量为uq max的顶点去掉,
1 1
剩余三个顶点形成的三角形记为γτ,进入步骤2‑4‑3);否则,将γτ记为γτ,进入步骤2‑4‑
3);
1 1
2‑4‑3)依次检查γτ顶点的所有固定对分量:若γτ所有顶点的每个固定对分量没有同
1 1
时为对应约束最大值,则γτ即为该p‑q分组的一个关键边界面,将γτ加入集合Γ2,然后进1
入步骤2‑4‑4);否则,将γτ的顶点的每一对同时为对应约束最大值的固定对分量处理如下:记同时为对应约束最大值的一对固定对分量为第J和第J+1个分量,按如下公式计算
1 1 1 1 1
d01、d02:d01=|c1 J·(uJ max‑uJ min)|,d02=|c1 J+1·(uJ+1 max‑uJ+1 min)|;d01为c1 J与uJ max‑
1 1 1 1
uJ min之积的绝对值,d02为c1 J+1与uJ+1 max‑uJ+1 min之积的绝对值;若d01≤d02,则将γτ三个
1 1 1
顶点的第J个分量改为uJ min;若d01>d02,则将 γτ三个顶点的第J+1个分量改为uJ+1 min;所
2 2
有固定对分量都处理完后,所得三角形或矩形记为 γτ,γτ为该p‑q分组的一个关键边界2
面,将γτ加入集合Γ2,然后进入步骤2‑4‑4);
2‑4‑4)令 并进行判定:若τ≤2,则重新返回步骤2‑4‑2);否则,已得到该p‑q分组的所有关键边界面,该p‑q分组没有准关键边界面,进入步骤2‑6);
2‑5)在p‑q分组中确定准关键边界面和关键边界面,具体步骤如下:
2‑5‑1)记不含第p个且不含第q个分量的一对线性不等式约束分量为固定对分量;令τ=1,进入步骤2‑5‑2);
2‑5‑2)记与第p个分量成对的分量为第p'个分量,与第q个分量成对的分量为第q'个分量;若γτ四个顶点的第p'个分量均为up'min,第q'个分量均为uq'min,则进入步骤2‑5‑3);否则,进入步骤2‑5‑4);
2‑5‑3)依次检查γτ四个顶点的每一对固定对分量:若γτ四个顶点的每一对固定对分量均没有同时为对应约束最大值,则γτ即为该p‑q分组的一个关键边界面,将γτ加入集合Γ2,然后进入步骤2‑5‑20);否则,对每一对同时为对应约束最大值的固定对分量处理如下:记同时为对应约束最大值的一对固定对分量为第J和第J+1个分量,按如下公式计算
1 1 1 1 1
d01、d02:d01=|c1 J·(uJ max‑uJ min)|,d02=|c1 J+1·(uJ+1 max‑uJ+1 min)|;d01为c1 J与uJ max‑
1 1 1
uJ min之积的绝对值,d02为c1 J+1与uJ+1 max‑uJ+1 min之积的绝对值;若d01≤d02,将γτ四个顶
1 1
点的第J个分量改为uJ min;若d01>d02,将γτ四个顶点的第J+1个分量改为uJ+1 min;所有固定
1 1 1
对分量都处理完后,所得矩形记为γτ,γτ为该p‑q分组的一个准关键边界面,将γτ加入集合Γ1,然后进入步骤2‑5‑20);
2‑5‑4)若γτ四个顶点的第p'个分量均为up'max、第q'个分量均为uq'min,则进入步骤2‑5‑
4‑1);若γτ四个顶点的第p'个分量均为up'min、第q'个分量均为uq'max,则进入步骤2‑5‑4‑2);
若γτ四个顶点的第p'个分量均为up'max、第q'个分量均为uq'max,则进入步骤2‑5‑4‑3);
2‑5‑4‑1)若p为奇数且 则重新返回步骤2‑5‑3);若p为偶数且 则重新返回步骤2‑5‑3);若p为奇数且p∈K,则将第p个分量为up max的两个顶点的第p'个分量改为1
up'min,所得矩形记为 γτ,并令α1=p,进入步骤2‑5‑5);若p为偶数且p'∈K,则将第p个分量1
为up max的两个顶点的第p'个分量改为up'min,所得矩形记为γτ,并令α1=p',进入步骤2‑5‑
5);
2‑5‑4‑2)若q为奇数且 则重新返回步骤2‑5‑3);若q为偶数且 则重新返回步骤2‑5‑3);若q为奇数且q∈K,则将第q个分量为uq max的两个顶点的第q'个分量改为1
uq'min,所得矩形记为γτ,并令α2=q,进入步骤2‑5‑10);若q为偶数且q'∈K,则将第q个分量1
为uq max的两个顶点的第q'个分量改为uq'min,所得矩形记为γτ,并令α2=q',进入步骤2‑5‑
10);
2‑5‑4‑3)若p为奇数,q为奇数,且 则重新返回步骤2‑5‑3);若p为奇数,q为偶数,且 则重新返回步骤2‑5‑3);若p为偶数,q为奇数,且则重新返回步骤2‑5‑3);若p为偶数,q为偶数,且 则重新返回步骤2‑5‑3);
若p为奇数,q为奇数,且p∈K, 则将第p个分量为up max的两个顶点的第p'个分量1
改为up'min,所得矩形记为 γτ,并令α1=p,进入步骤2‑5‑5);若p为奇数,q为偶数,且p∈K,1
将第p个分量为up max的两个顶点的第p'个分量改为up'min,所得矩形记为 γτ,并令α1=p,进入步骤2‑5‑5);若p为偶数,q为奇数,且p'∈K, 将第p个分量为up max的两个1
顶点的第p'个分量改为up'min,所得矩形记为γτ,并令α1=p',进入步骤2‑5‑5);若p为偶数,q为偶数,且p'∈K, 将第p个分量为up max的两个顶点的第p'个分量改为up'min,所得1
矩形记为γτ,并令α1=p',进入步骤2‑5‑5);
若p为奇数,q为奇数,且 q∈K,则将第q个分量为uq max的两个顶点的第q'个分量1
改为uq'min,所得矩形记为 γτ,并令α2=q,进入步骤2‑5‑10);若p为奇数,q为偶数,且1
q'∈K,则将第q个分量为uq max的两个顶点的第q'个分量改为uq'min,所得矩形记为γτ,并令α2=q',进入步骤2‑5‑10);若p为偶数,q为奇数,且 q∈K,则将第q个分量为1
uq max的两个顶点的第q'个分量改为uq'min,所得矩形记为 γτ,并令α2=q,进入步骤2‑5‑
10);若p为偶数,q为偶数,且 q'∈K,则将第q个分量为uq max的两个顶点的第q'个分1
量改为uq'min,所得矩形记为γτ,并令α2=q',进入步骤2‑5‑10);
若p为奇数,q为奇数,且p∈K,q∈K,则将第p个分量为up max的两个顶点的第p'个分量改1
为up'min,第q个分量为uq max的两个顶点的第q'个分量改为uq'min,所得矩形记为 γτ,并令α1=p,α2=q,进入步骤2‑5‑15);若p为奇数,q为偶数,且p∈K,q'∈K,则将第p个分量为up max的两个顶点的第p'个分量改为up'min,第q个分量为uq max的两个顶点的第q'个分量改为1
uq'min,所得矩形记为γτ,并令α1=p,α2=q',进入步骤2‑5‑15);若p为偶数,q为奇数,且p'∈K,q∈K,则将第p个分量为up max的两个顶点的第p'个分量改为up'min,第q个分量为uq max的1
两个顶点的第q'个分量改为uq'min,所得矩形记为 γτ,并令α1=p',α2=q,进入步骤2‑5‑
15);若p为偶数,q为偶数,且p'∈K,q'∈K,则将第p个分量为up max的两个顶点的第p'个分量1
改为up'min,第q个分量为uq max的两个顶点的第q'个分量改为uq'min,所得矩形记为γτ,并令α1=p',α2=q',进入步骤2‑5‑15);
2‑5‑5)构造旋转变换矩阵G,使得控制可达集ΦMLR的坐标系进行旋转变换后,第1个坐1
标轴v1垂直于γτ在ΦMLR的像;具体方法如下:令H=G·B;记 H为矩阵G与矩阵B相乘得到的矩阵;将G、B代入H=G·B,得到:求解得到g11、g12、g13,进入步骤2‑5‑6);
2‑5‑6)利用H=G·B计算H矩阵的第一行(h11,...,h1m);
1 1
当h1i>0时,调整γτ每个顶点的第i个分量为ui max;当h1i<0时,调整γτ每个顶点的第i个分量为ui min;其中,1≤i≤m,i≠α1,α1+1,q;调整完毕后得到四个新顶点,确定一个矩
21
形,记为 γτ;
1 1
同时,当h1i>0时,调整γτ四个顶点的第i个分量为ui min;当h1i<0时,调整γτ四个顶点的第i个分量为ui max;其中,1≤i≤m,i≠α1,α1+1,q;调整完毕后,得到四个新顶点,确定
22
一个矩形,记为 γτ;
令ξ=1,然后进入步骤2‑5‑7);
2ξ 3ξ
2‑5‑7)将 γτ记为 γτ,进入步骤2‑5‑8);
3ξ
2‑5‑8)依次检查 γτ四个顶点的每一对固定对分量:若四个顶点的每对固定对分量不
3ξ 4ξ
同时为约束最大值,则将 γτ记为 γτ,进入步骤2‑5‑9);否则,对每一对同时为对应约束最大值的固定对分量处理如下:记同时为对应约束最大值的一对固定对分量为第J和第J+1
2 2 2 2
个分量,按如下公式计算d01、d02:d01=|h1 J·(uJ max‑uJ min)|,d02=|h1 J+1·(uJ+1 max‑
2 2
uJ+1 min)|;d01为h1 J与uJ max‑uJ min之积的绝对值,d02为h1 J+1与uJ+1 max‑uJ+1 min之积的绝对
2 2 3ξ 2 2 3ξ
值;若d01≤d02,则将 γτ四个顶点的第J个分量改为uJ min;若d01>d02,则将 γτ四个顶点
4ξ
的第J+1个分量改为uJ+1 min;所有固定对分量都处理完后,所得矩形记为 γτ,进入步骤2‑
5‑9);
4ξ 41 4ξ
2‑5‑9)若ξ=1,则将 γτ记为 γτ,令 然后重新返回步骤2‑5‑7);否则,将
42
γτ记为 γτ,进入步骤2‑5‑19);
2‑5‑10)构造旋转变换矩阵G,使得控制可达集ΦMLR的坐标系进行旋转变换后,第1个坐1
标轴v1垂直于γτ在ΦMLR的像;具体方法如下:令H=G·B;记 H为矩阵G与矩阵B相乘得到的矩阵;将G、B代入H=G·B,得到:求解得到g11、g12、g13,进入步骤2‑5‑11);
2‑5‑11)利用H=G·B计算H矩阵的第一行(h11,...,h1m);
1 1
当h1i>0时,调整γτ四个顶点的第i个分量为ui max;当h1i<0时,调整γτ四个顶点的第i个分量为ui min;其中,1≤i≤m,i≠α2,α2+1,p;调整完毕后,得到四个新顶点,确定一个矩
21
形,记为 γτ;
1 1
同时,当h1i>0时,调整γτ四个顶点的第i个分量为ui min;当h1i<0时,调整γτ四个顶点的第i个分量为ui max;其中,1≤i≤m,i≠α2,α2+1,p;调整完毕后,得到四个新顶点,确定
22
一个矩形,记为 γτ;
令ξ=1,进入步骤2‑5‑12);
2ξ 3ξ
2‑5‑12)将 γτ记为 γτ,进入步骤2‑5‑13);
3ξ
2‑5‑13)依次检查 γτ四个顶点的每一对固定对分量:若四个顶点的每对固定对分量
3ξ 4ξ
不同时为对应约束最大值,则将 γτ记为 γτ,进入步骤2‑5‑14);否则,对每一对同时为对应约束最大值的固定对分量处理如下:记同时为对应约束最大值的一对固定对分量为第J
2 2 2 2
和第J+1个分量,按如下公式计算d01、d02:d01=|h1 J·(uJ max‑uJ min)|,d02=|h1 J+1·
2 2 3ξ 2 2
(uJ+1 max‑uJ+1 min)|;若d01≤d02,则将 γτ四个顶点的第J个分量改为uJ min;若d01>d02,则
3ξ 4ξ
将 γτ四个顶点的第J+1个分量改为uJ+1 min;所有固定对分量都处理完后,所得矩形记为γτ,然后进入步骤2‑5‑14);
4ξ 41 4ξ
2‑5‑14)若ξ=1,则将 γτ记为 γτ,令 重新返回步骤2‑5‑12);否则,将 γτ
42
记为 γτ,进入步骤2‑5‑19);
2‑5‑15)构造旋转变换矩阵G,使得控制可达集ΦMLR的坐标系进行旋转变换后,第1个坐1
标轴v1垂直于γτ在ΦMLR的像;具体方法如下:令H=G·B;记 H为矩阵G与矩阵B相乘得到的矩阵;将G、B代入H=G·B,得到:求解得到g11、g12、g13,进入步骤2‑5‑16);
2‑5‑16)利用H=G·B计算H矩阵的第一行(h11,...,h1m);
1 1
当h1i>0时,调整γτ四个顶点的第i个分量为ui max;当h1i<0时,调整γτ四个顶点的第i个分量为ui min;其中,1≤i≤m,i≠α1,α1+1,α2,α2+1;调整完毕后,得到四个新顶点,确定一
21
个矩形,记为 γτ;
1 1
同时,当h1i>0时,调整γτ四个顶点的第i个分量为ui min;当h1i<0时,调整γτ四个顶点的第i个分量为ui max;其中,1≤i≤m,i≠α1,α1+1,α2,α2+1;调整完毕后,得到四个新顶点,
22
确定一个矩形,记为 γτ;
令ξ=1,进入步骤2‑5‑17);
2ξ
2‑5‑17)依次检查 γτ四个顶点的每一对固定对分量:若四个顶点的每对固定对分量
2ξ 4ξ
不同时为对应约束最大值,则将 γτ记为 γτ,进入步骤2‑5‑18);否则,对每一对同时为对应约束最大值的固定对分量处理如下:记同时为对应约束最大值的一对固定对分量为第J
2 2 2 2
和第J+1个分量,按如下公式计算d01、d02:d01=|h1 J·(uJ max‑uJ min)|,d02=|h1 J+1·
2 2 2ξ 2 2
(uJ+1 max‑uJ+1 min)|;若d01≤d02,则将 γτ四个顶点的第J个分量改为uJ min;若d01>d02,则
2ξ 4ξ
将 γτ四个顶点的第J+1个分量改为uJ+1 min;所有固定对分量都处理完后,所得矩形记为γτ,进入步骤2‑5‑18);
4ξ 41 4ξ
2‑5‑18)若ξ=1,则将 γτ记为 γτ,令 重新返回步骤2‑5‑17);否则,将 γτ
42
记为 γτ,进入步骤2‑5‑19);
41
2‑5‑19) γτ的四个顶点经映射v=B·uMLR得到的四个点确定的平面方程,记为f1(v1,v2,v3,d)=0,f1(v1,v2,v3,d)=0对应的多项式记为δ=f1(v1,v2,v3,d);任选步骤2‑4‑3)得到的一个关键边界面,记为γ0;将γ0的三个顶点经映射v=B·uMLR得到的三个顶点代入δ=
42
f1(v1,v2,v3,d),所得结果记为δ1、δ2、δ3;若δ1、δ2、δ3中正、负数都有,则 γτ为p‑q分组的一
42 42
个准关键边界面,将 γτ加入集合Γ1,然后进入步骤2‑5‑20);否则,将 γτ的四个顶点经映射v=B·uMLR得到的四个点代入δ1=f1(v1,v2,v3,d),所得结果记为δ4、δ5、δ6、δ7;若δ1、δ2、
42 42
δ3、δ4、δ5、δ6、δ7中正、负数都有,则 γτ为p‑q分组的一个准关键边界面,将 γτ加入集合
41 41
Γ1,然后进入步骤2‑5‑20);否则,γτ为p‑q分组的一个准关键边界面,将 γτ加入集合Γ1,然后进入步骤2‑5‑20);
2‑5‑20)令 并进行判定:若τ≤2,则重新返回步骤2‑5‑2);否则,该p‑q分组已确定准关键边界面和关键边界面,进入步骤2‑6);
2‑6)重新返回步骤2‑1),选取下一个未完成确定准关键边界面和关键边界面的分组,直至所有分组均已确定准关键边界面和关键边界面,将集合Γ1中的所有准关键边界面与集合Γ2中的所有关键边界面加入集合Γ3,然后进入步骤3);
3)确定控制可达集边界 具体步骤如下:
3‑1)对Γ1进行判定:若Γ1为空集,则进入步骤3‑3);否则,进入步骤3‑2);
3‑2)在Γ1中任取一个准关键边界面,记为γ3,处理如下:将γ3的四个顶点经映射v=B·uMLR得到的四个点确定的平面方程记为f2(v1,v2,v3,d)=0,f2(v1,v2,v3,d)=0对应的多项式记为 在Γ2中任取一个三角形关键边界面,记为γ4,将γ4的三个顶点经映射v=B·uMLR得到的三个点代入所得结果记为 若 中正、负数都有,则将γ3从Γ1中去掉,重新返回步骤3‑1);否则,若 均为非负数或均为非正数,则在 中任选一个不为0的数,记为 并依次将Γ3中每个边界面的每个顶点经映射v=B·uMLR得到的点代入所得结果依次记为 ρ为Γ3中所有边界面的顶点个数之和;若存在整数i,1≤i≤ρ,使得 则将γ3从Γ1中去掉,重新返回步骤3‑1);否则,若对任意整数i,1≤i≤ρ,均有 将γ3加入Γ2中,然后重新返回步骤3‑1);
3‑3)去掉Γ2中相同的关键边界面,处理完毕后,形成新的关键边界面集合记为Γ4;
Γ4中的所有关键边界面即控制集的所有关键边界面;将Γ4中每一个关键边界面的所有顶点经过映射v=B·uMLR得到对应控制可达集边界面的所有顶点,从而确定一个控制可达集边界面,该控制可达集边界面为四边形或三角形;Γ4中所有关键边界面确定的控制可达集边界面,构成控制可达集边界